X^4+2x^2-3\x^3-2x^2-X+2 Сократите алгебраическую дробь

(х^4 + 2х^2 - 3)/(х^3 - 2х^2 - х + 2).

1) Разложим числитель на множители. Введём новую переменную х^2 = у.

у^2 + 2у - 3.

Это квадратный трехчлен, который разложим на множители по формуле ах^2 + вх + с = а(х - х1)(х - х2), где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена.

у^2 + 2у - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16; √D = 4.

x = (-b ± √D)/(2a);

у1 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1;

у2 = (-2 - 4)/2 = -6/2 = -3.

у^2 + 2у - 3 = (х - 1)(х + 3).

Выполним обратную подстановку.

х^4 + 2х^2 - 3 = (х^2 - 1)(х^2 + 3).

2) Разложим знаменатель на множители способом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и вторые два слагаемых.

(х^3 - 2х^2) + (-х + 2).

Из первой скобки вынесем общий множитель х^2. Из второй скобки вынесем общий множитель (-1).

х^2 (х - 2) - 1(х - 2).

Вынесем за скобку общий множитель (х - 2).

(х - 2)(х^2 - 1).

3) Подставим разложения чтслителя и знаменателя в исходную дробь.

((х^2 - 1)(х^2 + 3))/((х - 2)(х^2 - 1)).

Сократим дробь на (х^2 - 1).

(х^2 + 3)/(х - 2).