sinx+cosx=0

Решим тригонометрическое уравнение и найдем его корни.   

sin x + cos x = 0; 

Возведем уравнение в квадрат и получим: 

(sin x + cos x)^2 = 0^2;  

sin^2 x + 2 * sin x * cos x + cos^2 x = 0; 

2 * sin x * cos x + 1 = 0; 

2 * sin x * cos x = -1; 

sin (2 * x) = -1;  

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. 

2 * x = -pi/2 + 2 * pi * n, n принадлежит Z; 

x = -pi/2/2 + 2/2 * pi * n, n принадлежит Z; 

x = -pi/4 + pi * n, n принадлежит Z;  

Ответ: x = -pi/4 + pi * n, n принадлежит Z.