Найди производную функции y=x^2/(x-1) в точке x0=3

Найдём производную данной функции: f(x) = (x^2) / (x - 1).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (x^2)’ = (x^2)’ = 2 * x^(2 – 1) = 2x;

2) (x - 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 * 1 * x^(1 – 1) = 1.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = ((x^2 / (x - 1))’ = ((x^2)’ * (x - 1) - (x^2) * (x - 1)’) / (x - 1)^2 = (2x * (x - 1) - (x^2) * 1) / (x - 1)^2 = (2x^2 – 2x – x^2) / (x - 1)^2 = (x^2 – 2x) / (x - 1)^2.

Вычислим значение производной в точке х0 =3:

f(x)\' (3) = (3^2 – 2 * 3) / (3 - 1)^2 = (9 – 6) / 2^2 = 3 / 4.

Ответ: f(x)\' = (x^2 – 2x) / (x - 1)^2, a f(x)\' (3) = 3 / 4.