Наименьшее и наибольшее значение функции y=x^3-9+15x-3, [2;7]

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (х^3 - 9х^2 + 15х - 3) = 3х^2 - 18х + 15.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем критические точки:

3х^2 - 18х + 15 = 0.

Поделим уравнение на 3:

х^2 - 6х + 5 = 0.

Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 36 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16.

x1 = (-b + √D)/2a = (6 + 4)/2 = 10/2 = 5;

x2 = (-b - √D)/2a = (6 - 4)/2 = 2/2 = 1.

Точка х = 1 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = 5 и на концах заданного отрезка [2; 7]:

у(5) = 5^3 - 9 * 5^2 + 15 * 5 - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28;

у(2) = 2^3 - 9 * 2^2 + 15 * 2 - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1;

у(7) = 7^3 - 9 * 7^2 + 15 * 7 - 3 = 343 - 441 + 105 - 3 = 4.

Ответ: fmax = 4, fmin = -28.