Найдите наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+19 на отрезке [1;3]

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (х^3 - 3х^2 + 19)\' = 3х^2 - 6х.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем критические точки:

3х^2 - 6х = 0;

х * (3х - 6) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю:

х = 0;

3х - 6 = 0;

3х = 6;

х = 6 : 3;

х = 2.

Точка х = 0 не принадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = 2 и на концах заданного отрезка [1; 3]:

у(2) = 2^3 - 3 * 2^2 + 19 = 8 - 12 + 19 = 15;

у(1) = 1^3 - 3 * 1^2 + 19 = 1 - 3 + 19 = 17;

у(3) = 3^3 - 3 * 3^2 + 19 = 27 - 27 + 19 = 19.

Ответ: fmin = 15.