1+log2(x-2)>log2(x^2-3x+2)

1) Разберем ОДЗ:

х - 2 > 0; x > 2.

x² - 3x + 2 > 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 3x + 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - 3x + 2 = 0.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1).

х₁ = (3 - 1)/2 = 1;

х₂ = (3 + 1)/2 = 2.

Так как знак неравенства > 0, то решением будут промежутки, где парабола находится выше оси х: (-∞; 1) и (2; +∞).

Общее решение ОДЗ: х принадлежит промежутку (2; +∞).

2) 1 + log₂(x - 2) > log₂(x² - 3x + 2).

Представим 1 как логарифм с основанием 2.

log₂2 + log₂(x - 2) > log₂(x² - 3x + 2).

По правилу сложения логарифмов:

log₂(2(x - 2)) > log₂(x² - 3x + 2).

3) Так как основание логарифма > 1, получаем:

2(x - 2) > x² - 3x + 2.

2х - 4 > x² - 3x + 2.

2х - 4 - x² + 3x - 2 > 0.

-х² + 5х - 6 > 0.

Умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

х² - 5х + 6 < 0.

Рассмотрим функцию у = х² - 5х + 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² - 5х + 6 = 0.

D = 25 - 24 = 1 (√D = 1);

х₁ = (5 - 1)/2 = 2.

х₂ = (5 + 1)/2 = 3.

Так как знак неравенства < 0, то решением будет промежуток, где парабола находится ниже оси х: (2; 3) - подходит по ОДЗ.

Ответ: х принадлежит промежутку (2; 3).