В трапеции abcd ab=bc=cd, ad=2bc. С центром в точке a проведена окружность радиусом, равным ab. Каково взаимное расположение

Рассмотрим трапецию ABCD. Опустим высоты BM, CN из вершин B и C.

Треугольники ABM и DCN - прямоугольные и равны по гипотенузе и катету, т.к.

AB = CD и BM = CN. Следовательно углы BAD = CDA и AM = ND.

По условию задачи AD = 2 * BC. Тогда:

AD = AM + MN + ND = 2 * AM + BC = 2 * BC, и получаем:

AM = BC / 2.

Так как треугольники ABM прямоугольный и AM = BC / 2 = AB / 2, то катет AM равен половине гипотенузы AB и поэтому sin(ABM) = AM / AB = 1 / 2, ABM = 30°, а BAM = 60°.

А значит угол CDM = 60° и BCD = 120°.

Заметим, что треугольник BCD - равнобедренный, т.к. BC = CD, а поэтому углы

CBD = CDB = 30°. Следовательно,

угол ABD = ABC - CBD = 120° - 30° = 90°.

Это означает, что прямая BD перпендикулярна радиусу AB окружности и следовательно

прямая BD является касательной к окружности с центром A и радиусом AB.

https://bit.ly/2BnFG7G