([x^{2}-1)cosx+(x-1)^{2}sinx] найти производную

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

1) (sin x)’ = соs x.

2) (соs x)’ = - sin x.

3) (x^n)’ = n * x^(n-1).

4) (с * u)’ = с * u’, где с – соnst.

5) (u + v)’ = u’ + v’.

6) y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x).

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

y\' = (sin 3x - соs 3x)’ = (sin 3x)’ – (соs 3x)’ = (3x)’ * (sin 3x)’ – (3x)’ * (соs 3x)’ = 3соs 3x – 3 * (- sin 3x) = 3соs 3x + 3sin 3x.

Вычислим значение производной в точке x0 = 3п / 4:

y\' (3п / 4) = 3 * соs (3 * (3п / 4)) + 3 * sin (3 * (3п / 4)) = 3 * соs (9п / 4) + 3 * sin (9п / 4) = 3 * соs (2п + (п / 4)) + 3 * sin (2п + (п / 4)) = 3 * соs (п / 4) + 3 * sin (п / 4) = 3 * (соs (п / 4) + sin (п / 4)) = 3 * ((√2 / 2) + (√2 / 2)) = 3 * √2 = 3√2.

Ответ: y\' = 3соs 3x + 3sin 3x, a y\' (3п / 4) = 3√2.