Найдите точку минимума функции y = x^3-27x^2+15

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (х^3 - 27х^2 + 15)\' = 3х^2 - 54х.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем нули функции:

3х^2 - 54х = 0;

х * (3х - 54) = 0;

х = 0;

3х - 54 = 0;

3х = 54;

х = 54 : 3;

х = 18.

3. Найдем значение производной, на отрезках (-∞ 0]; (0; 18]; (18; +∞):

у\'(-1) = 3 * (-1)^2 - 54 * (-1) = 3 + 54 = 57 > 0;

у\'(1) = 3 * 1^2 - 54 * 1 = 3 - 54 = -51 < 0;

у(19) = 3 * 19^2 - 54 * 19 = 1083 - 1026 = 57 > 0.

Производная при прохождении точки х = 18, меняет свой знак с минуса на плюс, это и будет точка минимума.

Ответ: точка минимума х = 18.