При каких значениях х имеет смысл выражения √х^2-3х-40

Подкоренное выражение должно быть больше либо равным нулю, т.к. извлекать квадратный корень можно только из положительного числа или нуля.

Решим неравенство х^2 - 3х - 40 ≥ 0 методом интервалов.

Найдем нули функции.

х^2 - 3х - 40 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169; √D = 13;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (-(-3) + 13)/(2 * 1) = (3 + 13)/2 = 16/2 = 8;

x2 = (3 - 13)/2 = -10/2 = -5.

Отметим на числовой прямой по порядку числа (-5) и 8. Эти числа делят числовую прямую на интервалы: 1) (-∞; -5], 2) [-5; 8], 3) [8; +∞). 

Проверим знак выражения х^2 - 3х - 40 на каждом из интервалов. На 1 и 3 промежутках оно положительно, на 2 - отрицательно. Поэтому, решение неравенства принадлежит 1 и 3 промежуткам.

Ответ. (-∞; -5] ∪ [8; +∞).