В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2, а один из острых углов равен 45∘. Найдите площадь треугольника.

Известно:

• Прямоугольный треугольник АВС; 
• Гипотенуза АВ = 2;
• Один угол = 45 °. 

Найдем площадь треугольника. 

Если один угол в прямоугольном треугольнике равен 45 °, тогда второй угол тоже равен 45 °. 

Значит, угол А = угол В = 45 °. 

Если углы равны, значит АС = ВС. 

Найдем один катет прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и углы треугольника.  

sin a = BC/AB; 

BC = AB * sin a = AB * sin 45° = 2 * √2/2 = √2; 

Значит, АС = ВС = √2; 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. 

S = (AC * BC)/2 = √2 * √2/2 = √4/2 = 2/2 = 1; 

Ответ: S = 1.