1.найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1, y=-3x+5 и y=02.Материальная точка двигается прямолинейно,ее скорость

1. Решение. 

Получаем криволинейную трапецию, ограниченную  прямыми :  y = x + 1 , y = -3x + 5  и y = 0.

Найдем границу фигуры , решив  х + 1 = - 3х + 5  ⇒  4х = 4 ⇒ х = 1.

Вычислим определенный интеграл  s=S(от 0 до 1)(- 3х + 5 – х - 4) dx = S(от 0 до 1)( - 4х + 4 )dx = -2x² + 4x = -2 + 4 = 2 .

Ответ: 2 ( кв. ед. )

2. Решение.  Находим первозданную s(t) = F(v)(от 1 до 3) = t³ - t³ + t = 27 - 9 + 3 - 1 + 1 - 1= 20 .

Ответ: 20 метров.

3. Решение. Получаем криволинейную трапецию, ограниченную  линиями   y = 5/x,  y = 5, x = e .

Находим абсциссу  точки пересечения линий  y = 5/x  с прямой у=5:   5/x = 5   ⇒  x = 1Вычисляем площадь криволинейной трапеции :

s = S(от 1 до e)( 5 - 5/x )dx = 5x - 5lnx = 5e - 5lne - 5 + 5ln1 = 5e - 5 - 5 + 0 = 5 e - 10. 

Ответ: ( 5 e - 10 ) кв ед.

4.  Решение аналогично предидущему примеру:

( 3 - x )( 2 + x ) = 2 + x  ⇒  6+3x-2x-x²-2-x=0  ⇒  x² - 4 = 0  ⇒ x = 2 U x = -2;s = S (от -2 до 2)(- x² + 4 ) dx = -x³ / 3 + 4x = -8 / 3 + 8 - 8 / 3 + 8 = 16 - 16 / 3 = 32 / 3 . Ответ: 32/3 кв ед.