В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона 6 см, а один из углов равен 150 градусов. Найти

Решение.  Обозначим вершину трапеции ABCD. Тогда меньшим  основанием будет BC = 4,  AB = CD = 6.  ∠ B =  ∠ C =150°. 

Основания  трапеции параллельны,  а боковая сторона является секущей.∠D, ∠C - внутренние односторонние углы. Известно, что  сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Поэтому:  ∠ D + ∠ C = 180° => ∠ D = 180° - 150° = 30°.

Высота опущенная из вершины C на основание (в точку H) образует прямоугольный треугольник, острые углы которого 60 и 30 градусов. Высота (CH) к тому же лежит напротив угла в 30° и равна половине длины гипотенузы (CD), длина которой 6 см. Отсюда имеем, что CH = 3 см.

Высота, опущенная из вершин трапеции образует прямоугольник, со сторонами 4 на 3 см. Отрезок HD = AM = 6 * cos 30° =6 * √3/2 = 3√3. => AD = 4 + 6√3.

S =((AD + BC) / 2) * CH = ((4 + 4 +6√3) / 2) * 3 = 12 + 9√3 .

Ответ. 12 + 9√3 (см²).