Число 10 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,чтобы сумма кубов этих чисел была: а)наибольшей

Обозначим искомые числа через a,b.

По условию задачи известно, что

a + b = 10, a >= 0, b >= 0.

Тогда имеем:

b = 10 - a.

Рассмотрим функцию F:

F(a) = a^3 + b^3 = a^3 + (10 - a)^3.

Нам необходимо найти при каких значениях a на интервале [0, 10] функция F достигает наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим производную функции F:

F’(a) = 3 * a^2 - 3 * (10 - a)^2 = 3 * (a^2 - (10 - a)^2) =

= 3 * 100 * (2 * a - 10) = 600 * (a - 5).

F’(a) = 0 при a = 5,

F’(a) < 0 при 0 <= a < 5,

F’(a) > 0 при 5 <= a <=10.

Следовательно, минимум F достигается при a = 5.

Так как  F(0) = F(10) = 1000, то максимум F достигается при a = 0 и a = 10.

5 + 5 = 10, min F(a) = 5^3 + 5^3 = 250.

10 + 0 = 10, max F(a) = 10^3 = 1000.