X²-8x-2√(x²-8x) -3=0

х² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть х² - 8x = а.

а - 2√а - 3 = 0.

Введем еще одну переменную, пусть √а = с.

с² - 2с - 3 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 2; х₁ * х₂ = -3.

Корни равны (-1) и 3. (-1) + 3 = 2; (-1) * 3 = -3.

Вернемся ко второй замене √а = с:

√а = -1; а = 1.

√а = 3; а = 9.

Возвращаемся к первой замене х² - 8x = а.

1) а = 1.

х² - 8x = 1.

х² - 8x - 1 = 0.

D = 64 + 4 = 68 (√D = √68 = 2√17);

х₁ = (8 - 2√17)/2 = 4 - √17.

х₂ = 4 + √17.

2) а = 9.

х² - 8x = 9.

х² - 8x - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100 (√D = 10);

х₁ = (8 - 10)/2 = -2/2 = -1.

х₂ = (8 + 10)/2 = 18/2 = 9.

Ответ: корни уравнения равны (4 - √17), (4 + √17), -1 и 9.