Из точки А к плоскости альфа проведены перпендикуляр АС и наклонная АВ. Найти длину биссектрисы плоского угла АСВ, образованной

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2K5Ld4S).

Проекция ВС наклонной АВ на плоскость и отрезок АС образуют прямой угол, тогда треугольник АВС прямоугольный.

По теореме Пифагора определим длину гипотенузы АВ.

АВ² = АС² + ВС² = 9 + 36 = 45.

АВ = √45 = 3 * √5 см.

Пусть АК = Х см, тогда ВК = 3 * √5 – Х см.

По свойству биссектрисы угла АС / АК = ВС / ВК.

АК = Х = АС * ВК / ВС = 3 * (3 * √5 – Х) / 6.

6 * Х = 9 * √5 – 3 * Х.

9 * Х = 9 * √5.

Х = АК = √5 см.

Так как СК биссектриса угла С, то угол АСК = 90 / 2 = 45⁰.

Из прямоугольного треугольника АВС определим синус угла ВАС.

Sinвас = ВС / АВ = 6 / 3 * √5 = 2 / √5.

В треугольнике АСК, по теореме синусов определим отрезок СК.

СК / Sinвас = АК / Sin45.

CК = АК * Sinвас / Sin45 = √5 * (2 / √5) / (√2 / 2) = 4 / √2 = 2 * √2 см.

Ответ: Длина биссектрисы равна 2 * √2 см.