При каких значениях параметра а уравнения 6x^2-(7a+1)x-3a^2=4a+1 и x^2+x+a=a^2 имеют общий корень?

Имеем два уравнения. Для того, чтобы найти значения параметра, при которых уравнения имеют общий корень, приравниваем сами уравнения:

6 * x^2 - (7 * a + 1) * x -3 * a^2 - 4 * a - 1 = 0;

x^2 + x + a - a^2 = 0;

Приравниваем левые части:

6 * x^2 - (7 * a + 1) * x - 3 * a^2 - 4 * a - 1 = x^2 + x + a - a^2;

5 * x^2 - (7 * a + 2) * x - 2 * a^2 - 5 * a - 1 = 0;

5 * x^2 - (7 * a + 2) * x - (2 * a^2 + 5 * a + 1) = 0;

Находим дискриминант:

D = (7 * a + 2)^2 + 20 * (2 * a^2 + 5 * a + 1);

D = 49 * a^2 + 28 * a + 4 + 40 * a^2 + 100 * a + 20;

D = 89 * a^2 + 128 * a + 24;

D > 0:

89 * a^2 + 128 * a + 24 > 0;

D = 16384 - 8544 = 7840;

a1 = (-128 - 7840^(1/2))/178;

a2 = (-128 + 7840^(1/2))/178.

a < a1 и a > a2.