В геометрической прогрессии произведение первых 11 членов равно 2. Найдите шестой член той прогрессии. Определите первый

Задание 1.

Воспользуемся формулой произведения первых n членов прогрессии:

P_n = (b₁ * b_n)^(n/2).

В нашем случае n = 11.

P₁₁ = (b₁ * b₁₁)^(11/2) = (b₁^2 * q^10)^5,5 = (b₁ * q^5)^11 = b₆^11.

А по условию произведение первых одиннадцати членов прогрессии равно двум. Составим уравнение.

b₆^11 = 2;

b₆ = ¹¹√2.

Ответ: ¹¹√2.

Задание 2.

Воспользуемся формулой суммы первых n членов прогрессии:

S_n = b₁ * (1 – q^n) / (1 – q).

В нашем случае n = 8 и q = 2.

S₈ = b₁ * (1 – 2^8) / (1 – 2) = b₁ * (1 – 256) / (-1) = 255 * b₁.

А по условию сумма первых восьми членов прогрессии равна 765. Составим уравнение.

255 * b₁ = 765;

b₁ = 765 / 255;

b₁ = 3.

Найдем восьмой член прогрессии.

b₈ = b₁ * q^7 = 3 * 2^7 = 384.

Ответ: 3 – первый член прогрессии, 384 - последний.

Задание 3.

По условию b₁ = 1 и b₂ = 5. Найдем знаменатель прогрессии.

q = b₂ / b₁ = 5 / 1 = 5.

Пусть n – количество членов прогрессии. Найдем последний член прогрессии.

b_n = b₁ * q^(n – 1) = 1 * 5^(n – 1) = 5^(n – 1).

А по условию последний член прогрессии равен 78125. Составим уравнение.

5^(n – 1) = 78125;

n – 1 = log₅ 78125;

n – 1 = 7;

n = 8.

Воспользуемся формулой суммы первых n членов прогрессии:

S_n = b₁ * (1 – q^n) / (1 – q).

Ранее мы выяснили: b₁ = 1; q = 5; n = 8.

S₈ = 1 * (1 – 5^8) / (1 – 5) = (1 – 390625) / (-4) = 390624 / 4 = 97656.

Ответ: 8 – количество членов прогрессии, 97656 – их сумма.