В равнобедренном треугольнике ABC; AB=BC=13; AC=10. O - точка пересечения биссектрис. Найти площадь треугольника AOC

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Wu4XU5).

Определим площадь треугольника АВС.

Биссектриса ВН, опущенная на основание АС равнобедренного треугольника так же есть высота и медиана треугольника. Тогда АН = СН = АС / 2 = 10 / 2 = 5 см.

В прямоугольном треугольнике АВН, по теореме Пифагора, определим длину катета ВН.

ВН² = АВ² – АН² = 169 – 25 = 144.

ВН = 12 см.

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = АС * ВН / 2 = 10 * 12 / 2 = 60 см².

Точка О пересечения биссектрис есть центр вписанной окружности, а ее радиус ОН есть высота треугольника АОС.

Определим радиус вписанной окружности. R = ОН = 2 * Sавс / (АВ + ВС + АС) = 2 * 60 / (13 + 13 + 10) = 120 / 36 = 10 / 3 см.

Определим площадь треугольника АОС.

Sаос = АС * ОН / 2 = (10 * 10 / 3) / 2 = 100 / 6 = 50 / 3 = 16(2/3) см².

Ответ: Площадь треугольника АОС равна 16(2/3) см².