Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 14, а углы

Для решения задачи рассмотрим рисунок.

По условию точка М равноудалена от всех вершин четырехугольника, и является серединой отрезка АD, следовательно вокруг четырехугольника можно описать окружность радиуса АМ.

Тогда АМ = MD = АС = ВМ и является радиусом окружности. В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов, тогда угол ВАМ = 180 – ВСD = 180 – 100 = 80⁰. Рассмотрим треугольник АВМ, у которого АМ = ВМ, как радиусы окружности, следовательно, он равнобедренный, тогда угол АВМ = ВАМ = 80⁰. Тогда угол СВМ = АВС – 80 = 110 – 80 = 30⁰.

Проведем перпендикуляр из точки М к стороне ВС.  Треугольник ВСМ равносторонний, следовательно точка К делит сторону ВС пополам, ВК = КС = ВС / 2 = 14 / 2 = 7.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВКМ, у которого катет ВК = 7, а угол при вершине В = 30⁰. Тогда гипотенуза ВМ = ВК / Cos30 = 7 / (√3/2) = 14/√3.

Тогда сторона АD = 2 * ВК = 28/√3 = (28 * √3) / 3.

Ответ: AD = (28 * √3) / 3.