Найдите сумму двадцати членов арифметической прогрессии (An) если а6+а9+а12+а15=20

Дано: a_n – арифметическая прогрессия;

а₆ + а₉ + а₁₂ + а₁₅ = 20;       

Найти: S₂₀ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n – 1),

где a₁ – первый член прогрессии, d – разность прогрессии, n – количество членов.

Согласно данной формуле представим а₆; а₉; а₁₂; а₁₅ и а₂₀ члены заданной арифметической прогрессии:

a₆ = a₁ + d (6 – 1) = a₁ + 5d;

a₉ = a₁ + d (9 – 1) = a₁ + 8d;

a₁₂ = a₁ + d (12 – 1) = a₁ + 11d;

a₁₅ = a₁ + d (15 – 1) = a₁ + 14d;

a₂₀ = a₁ + d (20 – 1) = a₁ + 19d.

Т.о. имеем:

a₁ + 5d + a₁ + 8d + a₁ + 11d + a₁ + 14d = 20;

4a₁ + 38d = 20;

Разделим все получившееся равенство на «2», получим:

2a₁ + 19d = 10.

Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле: S_n = ((a₁ + a_n) / 2) * n.

S₂₀ = ((a₁ + a₂₀) / 2) * 20 = (a₁ + a₁ + 19d) / 2) * 20 = (2a₁ + 19d) * 10 = 10 * 10 = 100.

Ответ: S₂₀ = 100.