в треугольники АВС проведены медианы АК и ВМ, перессекающиеся в точке О. Докажите, что площади треугольников МОК и АОВ

Рассмотрим треугольники МОК и АОВ:

КМ соединяет середины сторон ВС и АС, значит КМ - средняя линия треугольника АВС.

По свойству средней линии КМ = 1/2АВ, То есть КМ относится к АВ как 1/2.

По свойству пересечения медиан треугольника (медианы пересекаются в отношении 2 : 1):

ОМ относится к ВО как 1/2,

КО относится АО как 1/2.

Следовательно, треугольники МОК и АОВ подобны (по третьему признаку). Коэффициент подобия равен 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S(МОК)/S(АОВ) = (1/2)² = 1/4.

Что и требовалось доказать.