Как решать неравенства, когда дробь, в числителе выражение под корнем, а в знаменателе без корня? Например, √x^2-4/x-2

1) Для начала рассмотрим ОДЗ (область допустимых значений): выражение под корнем не может быть отрицательным числом, значит, x² - 4 всегда положительно:

x² - 4 ≥ 0. Рассмотрим функцию у = x² - 4. Это квадратичная парабола (ветви вверх).

Найдем точки пересечения с осью х: у = 0. x² - 4 = 0; x² = 4; х = 2 и х = -2.

Парабола пересекает ось х в точках -2 и 2, и так как знак неравенства ≥, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -2] и [2; +∞).

2) Дробь тогда больше нуля, когда и числитель, и знаменатель имеют одинаковые знаки (или оба положительные, или оба отрицательные).

Так как в числителе стоит корень (а он всегда положителен), значит и знаменатель положительный (но не равен 0, делить на 0 нельзя).

х - 2 > 0.

х > 2. То есть промежуток (2; +∞).

3) Объединяем решение неравенства и ОДЗ на одной прямой.

Ответ: х принадлежит промежутку (2; +∞).