дана функция у = 0,5х в 4 степени - 4х в квадрате. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума;

а) Найдем производную функции.

у = 0,5х⁴ - 4х².

у\' = 2х³ - 8х.

Найдем нули производной.

у\' = 0; 2х³ - 8х = 0; 2х(х² - 4) = 0; х = 0, х = -2, х = 2.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; -2) пусть х = -3: 2 * (-3)³ - 8 * (-3) = -30; минус, функция убывает.

(-2; 0) пусть х = -1: 2 * (-1)³ - 8 * (-1) = 6; плюс, функция возрастает.

(0; 2) пусть х = 1: 2 * 1³ - 8 * 1 = -6; минус, функция убывает.

(2; +∞) пусть х = 3: 2 * 3³ - 8 * 3 = 30; плюс, функция возрастает.

б) Значит, точками экстремума являются точки -2, 0 и 2.

х_min = -2; х_min = 2.

x_max = 0.

в) В промежуток [-1; 3] попадают две точки экстемума:

x_max = 0 и х_min = 2.

Найдем значение функции в этих точках.

у(0) = 0,5 * 0⁴ - 4 * 0² = 0 - это максимальное значение функции на промежутке [-1; 3].

у(2) = 0,5 * 2⁴ - 4 * 2² = -8 - это минимальное значение функции [-1; 3].