9)Площадь равнобедренного треугольника равна 25 √ 3.Угол, лежащий напротив основания, равен 120 . Найдите длину боковой

1) Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

S = ((a * b) * Sin a) / 2.

Так как треугольник равнобедренный, то, а = d

25√3 = а2 * Sin 120 / 2.

25√3 = (а2 * √3 / 2) / 2.

25 = а2 / 4.

а² = 100.

a = 10.

Ответ: Длина боковой стороны 10 см.

2) Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны (16 – 6) / 2 = 5 см.

Найдем полупериметр треугольника р = Р/2 = 16 / 2 = 8.

Тогда S = √p * (p - a) * (p - b) * (p-c), где р – полупериметр, а, b, c – длины сторон треугольника.

S = √8 * (8 - 5) * (8 - 5) * (8 - 6) = √144 = 12 см².

Ответ: 12 см².

3) Так как AD = AC, то треугольник ACD равносторонний, следовательно угол АСD = CAD = 13⁰. Тогда угол DCB = ACB – ACD = 143 – 13 = 130⁰.

Ответ: Угол DCB = 130⁰.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН, у которого АН = 9√69, а АВ = 75. Найдем по теореме Пифагора катет ВН. ВН² = АВ² – АН² = 75² – (9√69)² = 5625 - 5589 = 36 ВН = √36 = 6.

Тогда Cos B = ВН / АВ = 6 / 75 = 0,08.

Ответ: Cos B = ВН / АВ = 6 / 75 = 0,08.

5) В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, Sin B = AC / AB = Cos A.

В треугольнике АСН угол Н прямой, а Cos A = AH / AC.

По теореме Пифагора АН² = АС² – СН² = 35² – (14 * √6)² = 1225 – 1176 = 49.

АН = 7. Sin B = 7 / 35 = 1/5.

Ответ: Sin B = 1/5.

6) Пусть сторона равностороннего треугольника равна «а». Тогда высота треугольника равна:

h = √(a² - (a² / 4)) = a * √3 / 2.

Тогда:  a = 2 * h / √3 = (2 * 13 * √3) / √3 = 26.

Р = 3 * 26 = 78 см.

Ответ: Периметр равен 78 см.

7) В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, АС = 4 см.

 Cos А = АС / АВ.

АВ = 4 / Cos A.

Соs A = √(1 – Sin2A) = √(1 – 9/25) = 4/5.

АВ = 4 / (4 / 5) = 5 см.

Ответ: АВ = 5 см.

8) Так как ВМ медиана треугольника, то АМ = МС = АС / 2 = 6,5 см. Медиана ВМ = ВС, следовательно высота ВН делит МС пополам.  МН = НС = МС / 2 = 6,5 / 2 = 3,25 см.

Тогда АН = АМ + МН = 6,5 + 3,25 = 9,75 см.

Ответ: АН = 9,75 см.

9) Зная длины сторон, воспользуемся формулой:

 S = √p * (p - a) * (p - b) * (p-c), где р – полупериметр, а, b, c – длины сторон треугольника.

Р = (13 + 13 + 24) / 2 = 50 / 2 = 25 см.

S = √25 * (25 - 13) * (25 - 13) * (25-24) = √3600 = 60 см².

Ответ: S = 60 см²