1.найдите промежутки монотонности функции а)f(x)=(x-2)^2/x+1б)f(x)=√x-x

а) Найдем производную функции:

f(x) = (x - 2)²/(x + 1).

f\'(x) = (((x - 2)²)\'(x + 1) - (x - 2)²(x + 1)\')/(x + 1)² = (2(х - 2)(х + 1) - (х² - 4x + 4))/(x + 1)² = ((2х - 4)(х + 1) - х² + 4x - 4)/(x + 1)² = (2х² - 4х + 2х - 4 - х² + 4x - 4)/(x + 1)² = (х² + 2х - 8)/(x + 1)².

Приравниваем производную к нулю:

f\'(x) = 0; (х² + 2х - 8)/(x + 1)² = 0.

х² + 2х - 8 = 0; ОДЗ: x + 1 не равно 0, х не равен (-1).

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

х₁ = (-2 - 6)/2 = -5.

х₂ = (-2 + 6)/2 = 2.

Получилось три промежутка: (-∞; -5), (-5; 2) и (2; +∞). Так как это парабола (ветви вверх), то знаки каждого промежутка будут:

(-∞; -5): плюс, функция возрастает.

(-5; 2): минус, функция убывает.

(2; +∞): плюс, функция возрастает.

Добавляем ОДЗ (х не равен -1).

Ответ: f(x) возрастает на (-∞; -5) и (2; +∞); f(x) убывает на (-5; -1) и (-1; 2).

б) Выполняем задание аналогично.

f(x) = √x - x.

f\'(x) = 1/(2√х) - 1.

f\'(x) = 0; 1/(2√х) - 1 = 0; ОДЗ: х > 0.

1/(2√х) = 1;

2√х = 1;

√х = 1/2;

х = 1/4.

Получается два промежутка (учитываем ОДЗ, х > 0):

(0; 1/4) плюс,

(1/4; +∞) минус.

Ответ: f(x) возрастает на (0; 1/4), f(x) убывает на (1/4; +∞).