Ваня на вопрос : каков номер его квартиры дал ответ. Номер квартиры трехзначное число. Если цифрами этого числа записать

Пусть KMN – это номер квартиры. K, M и N – это цифры. А k, m и n – это однозначные числа, которые им соответствуют.

KMN = 100k + 10m + n.

Составим из цифр K, M и N двузначные числа.

Числа, начинающиеся с цифры K:

KM = 10k + m;

KN = 10k + n.

Числа, начинающиеся с цифры M:

MK = 10m + k;

MN = 10m + n.

Числа, начинающиеся с цифры N:

NK = 10n + k;

NM = 10n + m.

Получилось шесть чисел. Найдем их сумму.

KM + KN + MK + MN + NK + NM = (10k + m) + (10k + n) + (10m + k) + (10m + n) + (10n + k) + (10n + m) = (10k + 10k + k + k) + (m + 10m + 10m + m) + (n + n + 10n + 10n) = 22k + 22m + 22n.

По условию задачи число KMN равно половине этой суммы. Составим уравнение.

100k + 10m + n = (22k + 22m + 22n) / 2;

100k + 10m + n = 11k + 11m + 11n.

Перенесем 11k из правой части уравнения в левую часть, а 10m и n – из левой части в правую часть.

100k – 11k = 11m + 11n – 10m – n;

89k = 10n + m;

89k = NM.

K – это первая цифра числа KMN. Значит, число k не меньше единицы.

Предположим, k > 1. Тогда k ⩾ 2 (ведь k – это целое число). Если k ⩾ 2, то 89k ⩾ 178.

Мы выяснили, что NM = 89k. Значит, NM ⩾ 178. А это невозможно, поскольку NM – двузначное число.

Значит, наше предположение о том, что k > 1, было ошибочным. Следовательно, k = 1.

Вернемся к нашему уравнению.

89k = NM;

89 * 1 = NM;

NM = 89.

Значит, n = 8 и m = 9.

Ранее мы доказали, что k = 1. Получается, что KMN = 198.

Ответ: сто девяносто восемь.