В геометрической прогресии найти s5,если b3-b1=24:b5-b1=625

1. Дана геометрическая прогрессия (b_n, где n – натуральное число), для которой выполняются условия: b₃ – b₁ = 24; b₅ – b₁ = 624. Необходимо найти сумму первых пяти членов – S₅.
2. Внимательный читатель наверняка заметил одно существенное изменение в постановке задания. А именно, число 625 заменено на 624. Такое изменение сделано только с методической точки зрения. Можете сравнить решение, изложенное тут http://bit.ly/S1Po8SZam со следующим решением.
3. Воспользуемся формулой определения любого n-ого члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^{n – 1}, где q – знаменатель геометрической прогрессии.
4. Имеем: b₃ = b₁ * q^{3 – 1} = b₁ * q², b₅ = b₁ * q^{5 – 1} = b₁ * q⁴, следовательно, b₁ * q² – b₁ = 24; b₁ * q⁴ – b₁ = 624.
5. Последние два равенства позволяют получить следующее: b₁ * q⁴ – b₁ * q² = 624 – 24 или q² * (b₁ * q² – 1) = 600, откуда q² = 25. Это уравнение имеет два корня: q₁ = 5 и q₂ = –5.
6. Таким образом, определили знаменатель данной геометрической прогрессии. Вычисление первого члена геометрической прогрессии для обоих корней не представляет труда: b₁ = 1.
7. Для того, чтобы вычислить S₅, воспользуемся формулой S_n = (b₁ * (1 – qⁿ)) / (1 – q).
8. Рассмотрим оба корня уравнения q² = 25. а) При q = 5 имеем: S₅ = (1 * (1 – 5⁵)) / (1 – 5) = (1 – 3125) / (-4) = 781. б) При q = –5, получим S₅ = (1 * (1 – (–5)⁵)) / (1 – (–5)) = (1 + 3125) / 6 = 521.

Ответы: 781; 521.