На стороне АВ квадрата АВСD построен правельный треугольник AFB(лежащий на плоскости квадрата), так что вершина F находится

Выполним чертеж.

https://bit.ly/2siYHB8

Проведем высоту FH. Она пересечет АВ в точке Е. Так как треугольник ABF правильный, то FЕ будет являться высотой и медианой.

Рассмотрим треугольник FEB: угол Е = 90°, FB = √6 (так как АВ = √6, а треугольник правильный, все стороны равны), ЕВ = √6/2 (FE - медиана).

По теореме Пифагора найдем длину FE:

FE = √(FB² - BE²) = √((√6)² - (√6/2)²) = √(6 - 6/4) = √(6 - 1,5) = √4,5.

Отрезок FH состоит из двух отрезков FE и EH, ЕН равна стороне квадрата, найдем длину FH:

FH = FE + EH = √4,5 + √6.

Рассмотрим треугольник FHC: угол Н = 90°, FH = √4,5 + √6, СН = 1/2 CD = √6/2.

По теореме Пифагора:

FC = √((√4,5 + √6)² + (√6/2)²) = √(4,5 + 2√4,5 * √6 + 6 + 6/4) = √(10,5 + 1,5 + 2√27) = √(12 + 6√3).

Ответ: FC = √(12 + 6√3).