Решение уравнения через факториал (x+17)!=420(х+15)!

(x + 17)! = 420(х + 15)!

1. Разделим правую и левую части уравнения на (х + 15)!

^{(x + 17)!} / _{(х + 15)!}= ^{420(х + 15)!} / _{(х + 15)!}.

ОДЗ: (х + 15)! ≠ 0, где (х + 15)! -  множество целых неотрицательных чисел.

1. Разложим (x + 17)! по определению факториала.

(x + 17)! = (х + 15)!(х + 16)(х + 17).

1. Сократим правую и левую части уравнения.

^{(х + 15)!(х + 16)(х + 17)} / _{(х + 15)!}= ^{420(х + 15)!} / _{(х + 15)!};

(х + 16)(х + 17) = 420;

1. Раскроем скобки и перенесём 420 вправо от знака равенства.

х² + 16х + 17х + 16 ∙ 17 – 420 = 0.

1. Решим квадратное уравнение х² + 33х + 272 – 420 = 0.

х² + 33х – 148 = 0;

D = b² – 4ac = 33² – 4 ∙ (– 148) = 1089 + 592 = 1681;

x₁ =  ^{− b − √D} / _2a = ^{− 33 − √1681} / ₂ = ^{− 33 − 41} / ₂ = ^{− 74} / ₂ = −37 ∉ ОДЗ, так как (−37 + 15)! = (−12)!, что невозможно.

x₂ =  ^{− b + √D} / _2a = ^{− 33 + √1681} / ₂ = ^{− 33 + 41} / ₂ = ⁸ / ₂ = 4.

Ответ: х = 4.