Дана парабола y² = 2 * 28x. Через точку (28, 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам. Провести касательные в точках пересечения хорды и параболы.

Пусть точки А(x₁;y₁) и В(x₂;y₂) – концы этой хорды.

По условию точка (5/2;1) – середина отрезка АВ.

Система уравнений:

{(x₁+x₂)/2=5/2;

{(у₁+у₂)/2=1;

{y²₁=4x₁ ⇒ x₁=y²₁/4

{y²₂=4x₂ ⇒ x₂=y²₂/4

{(y²₁+y²₂)/8=5/2

{(у₁+у₂)/2=1;

{y²₁+y²₂=20

{y₁+y₂=2

Возводим второе уравнение в квадрат

y²₁+2y₁·y₂+y²₂=4

20+2y₁·y₂=4 ⇒ 2·y₁·y₂ = –16

{y₁+y₂=2 ⇒ y₁=2–y₂

{y₁·y₂ = –8 ⇒(2–y₂)·y₂ =–8 ⇒ y²₂–2y₂–8=0

D=(–2)²–4·(–8)=36

y₂=–2 или y₂=4

y₁=4 или y₁ =–2

x₁=y²₁/4=4²/4=4 или x₁=(–2)²/4=1

x₂=y²₂/4=(–2)²/4=1 или x₂=(4)²/4=4

Получили две точки:

А(1;–2) и B(4;4)

Уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через две точки:

(x–x_A)/(x_B–x_A)=(y–y_A)/(y_B–y_A)

(x–1)/(4–1))=(y–(–2))/(4–(–2))

6·(х–1)=3·(у+2)

2х–2=у+2

2х – у – 4 = 0

О т в е т. 2х – у – 4=0