пусть m и n взаимно простые положительные целые числа.Если m³ n⁵ имект 209 положительных делителей,то сколько положительных делителей имеет m⁵ n³?​

Ответ

пусть m и n взаимно простые положительные целые числа.Если m³ n⁵ имект 209 положительных делителей,то сколько положительных делителей имеет m⁵ n³?

Дано, что m и n взаимно простые.

Пусть a и b - произвольные положительные делители числа m^3 n^5.

Тогда a делит m^3, а b делит n^5.

Так как m и n взаимно простые, то a и b также взаимно простые.

Количество положительных делителей числа m^3 n^5 равно (3+1)*(5+1)=24 (так как у числа m^3 n^5 есть (3+1) способ выбрать степень m и (5+1) способ выбрать степень n).

Заметим, что m^5 n^3 = (m^3 n^5) * (m^2 n^-2).

Так как m и n взаимно простые, то m^2 и n^-2 также взаимно простые.

Количество положительных делителей числа m^2 n^-2 равно (2+1)*(2+1)=9 (так как у числа m^2 n^-2 есть (2+1) способ выбрать степень m^2 и (2+1) способ выбрать степень n^-2).

Таким образом, количество положительных делителей числа m^5 n^3 равно произведению количества положительных делителей m^3 n^5 и m^2 n^-2, т.е. 24*9=216.

Ответ: у числа m^5 n^3 216 положительных делителей.