f(x)=3x^4-8x^3+16 монотомная функция интервала

Для определения монотонности функции f(x)=3x^4-8x^3+16 необходимо вычислить ее производную f'(x) и проанализировать ее знак на интервале.

f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 16

f'(x) = 12x^3 - 24x^2

Для определения знака производной, необходимо вычислить ее значения на интервалах между корнями многочлена f'(x):

f'(x) = 12x^2(x - 2)

x < 0: f'(x) < 0

0 < x < 2: f'(x) > 0

x > 2: f'(x) > 0

Таким образом, на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞) функция f(x) монотонно возрастает, а на интервале (0, 2) монотонно убывает.

Нулями функции являются корни уравнения f(x) = 0:

3x^4 - 8x^3 + 16 = 0

x^3(3x - 8) + 16 = 0

x = 0 - тройной корень, x = 8/3 - одиночный корень.

Для того, чтобы функция была монотонной на некотором интервале, её производная должна быть либо положительной, либо отрицательной на этом интервале.

Вычислим производную данной функции:

F'(x) = 12x^3 - 24x^2

Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция монотонна, необходимо найти корни производной, т.е. решить уравнение:

12x^3 - 24x^2 = 0

12x^2(x - 2) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 2.

Рассмотрим интервалы между корнями: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞).

1. Для интервала (-∞, 0) производная F'(x) < 0, значит, функция убывает на этом интервале.

2. Для интервала (0, 2) производная F'(x) > 0, значит, функция возрастает на этом интервале.

3. Для интервала (2, +∞) производная F'(x) > 0, значит, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция F(x) монотонно возрастает на интервалах (0, 2) и (2, +∞), а на интервале (-∞, 0) монотонно убывает.

Ответ: функция F(x) монотонно возрастает на интервалах (0, 2) и (2, +∞), а на интервале (-∞, 0) монотонно убывает.