Решение тригонометрических уравнений

Мы можем преобразовать выражения в данном уравнении, используя тригонометрические тождества. В частности, мы можем использовать следующие тождества: ctg(x) = 1/tg(x) tg(2x) = 2tg(x)/(1 - tg^2(x)) ctg(2x) = (ctg^2(x) - 1)/(2ctg(x)) tg(4x) = (2tg(2x))/(1 - tg^2(2x)) Используя эти тождества, мы можем переписать уравнение в следующем виде: 3ctg(x) - tg(3x) = 3ctg(2x) + 6ctg(4x) Затем мы можем заменить tg(3x) и ctg(4x) в выражении с помощью других тождеств: tg(3x) = (3tg(x) - tg^3(x))/(1 - 3tg^2(x)) ctg(4x) = (ctg^2(2x) - 1)/(2ctg(2x)) = ((1/tg^2(2x)) - 1)/(2(1/tg(2x))) = (1 - tg^2(2x))/(2tg(2x)) Подставляя эти выражения, мы получаем: 3ctg(x) - (3tg(x) - tg^3(x))/(1 - 3tg^2(x)) = 3ctg(2x) + 6(1 - tg^2(2x))/(2tg(2x)) Мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на (1 - 3tg^2(x))(2tg(2x)): 3ctg(x)(1 - 3tg^2(x))(2tg(2x)) - (3tg(x) - tg^3(x))(2tg(2x)) = 3ctg(2x)(1 - 3tg^2(x))(2tg(2x)) + 6(1 - tg^2(2x))(1 - 3tg^2(x)) Раскрывая скобки и сокращая подобные слагаемые, мы получаем: 6tg(x)(1 - 3tg^2(x))tg(2x) - 6tg(2x)(1 - 3tg^2(x)) = 6tg(2x)(1 - 3tg^2(x)) + 6(1 - tg^2(2x))(1 - 3tg^2(x)) После дальнейших преобразований, мы получаем квадратное уравнение относительно tg(x), которое можно решить с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений.