Доказать (A ⋂ B) ⋃ (¬A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ D) = (A ⋂ B) ⋃ (¬A ⋂ D)

Відповідь:

Для доведення даного рівності, потрібно показати, що ліва та права частини містять однакові елементи.

Почнемо з лівої частини:

(A ⋂ B) ⋃ (¬A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ D)

За законом дистрибутивності перетину відносно об'єднання можна переписати у такий спосіб:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ D)]

За законом де Моргана можна переписати [¬A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ D)] у такий спосіб:

[¬(A ⋃ ¬D)] ⋂ (B ⋃ D)

Тепер, підставляючи це значення назад до лівої частини рівності, отримуємо:

(A ⋂ B) ⋃ [¬(A ⋃ ¬D)] ⋂ (B ⋃ D)

За законом дистрибутивності перетину відносно об'єднання можна переписати так:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋃ D) ⋂ (B ⋃ D)]

За законом де Моргана можна переписати ¬A у вигляді ¬A ⋃ D ⋂ ¬D, і підставити це значення:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋃ D ⋂ ¬D) ⋂ (B ⋃ D)]

Так як D ⋂ ¬D = ∅ (пуста множина), то можна записати:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋃ D) ⋂ (B ⋃ D)]

Тепер застосуємо закон дистрибутивності перетину відносно об'єднання, щоб отримати:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋂ (B ⋃ D)) ⋃ (D ⋂ (B ⋃ D))]

Так як (B ⋃ D) ⋂ (¬A ⋃ (B ⋃ D)) = (B ⋂ ¬A) ⋃ D, то можна переписати:

(A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋂ (B ⋃ D)) ⋃ (D ⋂ (B ⋃ D))]

= (A ⋂ B) ⋃ [(¬A ⋂ B) ⋃ (¬A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ D)]

Тепер ми отримали праву частину рівності, яку ми хотіли дати

дай дякую!