Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 2-x^2, y = 4-x.

Ответ:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-x^2 и y = 4-x. Для этого нам нужно найти точки пересечения этих двух функций, после чего мы сможем построить график фигуры и вычислить ее площадь методом интегрирования.

Пересечение двух функций дают решение системы уравнений:

2-x^2 = 4-x

x^2 - x + 2 = 0

Используя квадратное уравнение, найдем корни:

x = (1 ± sqrt(1 - 42(-2))) / 2 = (1 ± sqrt(17)) / 2

Таким образом, точки пересечения функций y = 2-x^2 и y = 4-x имеют координаты:

A = ((1-sqrt(17))/2, 3+sqrt(17)/2)

B = ((1+sqrt(17))/2, 3-sqrt(17)/2)

Построим график этих функций, чтобы определить границы фигуры:

| / B

| /

4 | /

| /

| /

2 |__/_/_/_/_/_/_/_/_/_/______

A

|------2-------|

График фигуры ограничен между двумя кривыми и осью x. Поэтому мы можем найти ее площадь, вычислив определенный интеграл:

S = ∫(от A до B) (2-x^2 - (4-x)) dx

S = ∫(от A до B) (x^2 - x - 2) dx

S = [x^3/3 - x^2/2 - 2x] от A до B

S = [(1/3)((1+sqrt(17))/2)^3 - (1/2)((1+sqrt(17))/2)^2 - 2*((1+sqrt(17))/2)] - [(1/3)((1-sqrt(17))/2)^3 - (1/2)((1-sqrt(17))/2)^2 - 2*((1-sqrt(17))/2)]

S = [(1/3)(1+3sqrt(17)+17sqrt(17)+17)/8 - (1/2)(1+sqrt(17)+17)/4 - (1+sqrt(17))] - [(1/3)(1-3sqrt(17)+17sqrt(17)+17)/8 - (1/2)(1-sqrt(17)+17)/4 - (1-sqrt(17))/2]

S = (5sqrt(17)-11)/6 ≈ 2.977

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2-x^2 и y = 4-x, равна примерно 2.977.