Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 2-x^2, y = 4-x.

Ответ:

Для того, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома лініями, необхідно спочатку знайти точки їх перетину. Для цього розв'язуємо систему рівнянь:

2 - x^2 = 4 - x

x^2 - x + 2 = 0

За допомогою квадратного рівняння знаходимо:

x = (1 ± sqrt(1 - 8))/2 = (1 ± sqrt(-7))/2

Оскільки дискримінант від'ємний, то ця система рівнянь не має розв'язків, тобто ці дві лінії не перетинаються.

Отже, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома лініями, необхідно знайти площу двох окремих фігур, що їх вони обмежують. Одна з цих фігур знаходиться в межах 0 ≤ x ≤ 2 і обмежена лініями у = 2 - x^2 та y = 4 - x. Інша фігура знаходиться в межах 2 ≤ x ≤ 4 і обмежена лініями у = 2 - x^2 та y = 4 - x.

Знайдемо спочатку площу першої фігури. Інтегруючи функцію y = 2 - x^2 від 0 до 2, отримуємо:

S1 = ∫[0,2] (2 - x^2) dx = [2x - (1/3)x^3] [0,2] = 8/3

Аналогічно знайдемо площу другої фігури, інтегруючи функцію y = 4 - x від 2 до 4:

S2 = ∫[2,4] (4 - x) dx = [4x - (1/2)x^2] [2,4] = 6

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = 2 - x^2 та y = 4 - x, дорівнює:

S = S1 + S2 = 8/3 + 6 = 26/3

Відповідь: 26/3.