Найдите значения параметра n, при которых уравнения x^2-(2n+1)x+n+1=0 и 2x^2-(4n-1)x+1=0 имеют хотя бы один общий корень. Найдите этот корень.

Для того чтобы уравнения имели хотя бы один общий корень, их дискриминанты должны быть больше или равны нулю, и система из этих уравнений должна иметь ненулевое решение.

Для первого уравнения дискриминант равен:

D1 = (-2n-1)^2 - 4(n+1) = 4n^2 + 4n + 1 - 4n - 4 = 4n^2 - 3

Для второго уравнения дискриминант равен:

D2 = (4n-1)^2 - 8 = 16n^2 - 8n + 1 - 8 = 16n^2 - 8n - 7

Таким образом, система из этих уравнений имеет общий корень, если:

4n^2 - 3 ≥ 0 и 16n^2 - 8n - 7 ≥ 0

Первое неравенство можно решить следующим образом:

4n^2 - 3 ≥ 0

4n^2 ≥ 3

n^2 ≥ 3/4

n ≥ √(3/4) или n ≤ -√(3/4)

Второе неравенство можно решить так:

16n^2 - 8n - 7 ≥ 0

(4n-7)(4n+1) ≥ 0

n ≤ -1/4 или n ≥ 7/4

Таким образом, возможны два набора значений n: n ≤ -√(3/4) и n ≤ -1/4, или n ≥ √(3/4) и n ≥ 7/4.

Из этих двух наборов мы выбираем только те значения, которые удовлетворяют обоим неравенствам:

n ≤ -1/4 и n ≥ 7/4.

Теперь найдем общие корни уравнений при n = -1/4 и n = 7/4.

При n = -1/4, уравнения становятся:

x^2 + 3x - 3/4 = 0 и 2x^2 - 7x + 1 = 0

Решив эти уравнения, находим общий корень x = 1/2.

При n = 7/4, уравнения становятся:

x^2 - 9x/2 + 5/4 = 0 и 2x^2 + 5x - 1 = 0

Решив эти уравнения, находим общий корень x = 1/2.

Таким образом, значения n = -1/4 и n = 7/4 удовлетворяют условию задачи, и общий корень уравнений равен x = 1/2.