Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x ; y) = 5*x*y-y^2 в замкнутой области D, что задана D: x = 4 ; y^2 = 5*x+5 Пожайлуста, помогите! Срочно нужно!

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для розв'язання задачі знайдемо критичні точки внутрішньої частини області D, які відповідають максимуму та мінімуму функції.

Спочатку розв'яжемо рівняння визначаючої кривої:

y^2 = 5x + 5

Підставимо y^2 у вираз для функції:

z = 5xy - y^2 = 5x*y - (5x + 5) = 5xy - 5x - 5

Тепер підставимо вираз для y^2 виразом для x:

z(x) = 5x*(5x+5)/(2*5) - 5x - 5 = 5x^2/2 - 5x - 5

Знайдемо точки екстремуму, розв'язавши рівняння з першої похідної:

z'(x) = 5x - 5 = 0

x = 1

Застосуємо другу похідну, щоб визначити тип точки екстремуму:

z''(x) = 5 > 0, отже, x = 1 є точкою мінімуму функції.

Тепер потрібно визначити значення функції у крайніх точках області D, щоб встановити, яке з них є максимумом функції:

y^2 = 5x + 5, x = 4

y^2 = 25, y = ±5

Для (x, y) = (4, 5):

z = 545 - 5^2 = 100

Для (x, y) = (4, -5):

z = 54(-5) - (-5)^2 = -95

Отже, максимальне значення функції знаходиться у точці (4, 5) і дорівнює 100, а мінімальне значення функції знаходиться в точці (1, 2) і дорівнює -12.5.