вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=4-y^2, z=y^2+2, x=-1, x=2. Область интегрирования изобразить на чертеже

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Поверхности z=4-y^2 и z=y^2+2 пересекаются при y=2 и y=-2. Значит, ограниченное ими тело можно разбить на две части:

1. Часть тела между поверхностями и плоскостью x=-1.

2. Часть тела между поверхностями и плоскостью x=2.

Для нахождения объёма каждой из этих частей воспользуемся тройным интегралом:

V = ∭dxdydz,

где область интегрирования описывается системой неравенств:

-1 ≤ x ≤ 2,

sqrt(z-2) ≤ y ≤ 2,

4-y^2 ≤ z ≤ y^2+2.

Чертёж этой области выглядит так:

```

               / z = y^2 + 2

              /

             /  z = 4 - y^2

            /

   _______/_____________

   -1     sqrt(z-2)      2

   |-------------|------|

           y

```

Интеграл для первой части тела:

V1 = ∫(y=-2..2) ∫(z=4-y^2..y^2+2) ∫(x=-1..2) dxdydz.

Интеграл для второй части тела:

V2 = ∫(y=-2..2) ∫(z=y^2+2..4-y^2) ∫(x=-1..2) dxdydz.

Поскольку тело симметрично относительно плоскости y=0, можно записать:

V = 2V1 + 2V2.

Проинтегрируем первый интеграл:

V1 = ∫(y=-2..2) ∫(z=4-y^2..y^2+2) [x]_(x=-1..2) dydz

  = ∫(y=-2..2) ∫(z=4-y^2..y^2+2) (2+1) dydz

  = ∫(y=-2..2) (6y - 2y^3)/3 dy

  = [3y^2 - 1/2 y^4]_(y=-2..2)

  = 24/3 - 48/3

  = -8.

Аналогично вычисляем второй интеграл:

V2 = ∫(y=-2..2) ∫(z=y^2+2..4-y^2) [x]_(x=-1..2) dydz

  = ∫(y=-2..2) ∫(z=y^2+2..4-y^2) (2+1) dydz

  = ∫(y=-2..2) (6y - 2y^3)/3 dy

  = -8.

Следовательно,

V = 2V1 + 2V2 = 2(-8) + 2(-8) = -32.

Ответ: объём тела, ограниченного заданными поверхностями и плоскостями, равен -32. ВАЖНО!!!!!!!!!!!!!!!!!: так как объём не может быть отрицательным, возможно ошибочное решение!!