В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого угла проведены медиана AD, биссектриса АК и высота АН. Оказалось, что DK = 4 и КН = 3. Найдите площадь треугольника АВС

Ответ:

AC^2/4

Пошаговое объяснение:

Пусть точка пересечения медиан AD и AK обозначена как M. Тогда, так как медиана делит сторону на две равные части, BM = MC и AM = MD. Кроме того, по свойству биссектрисы, угол BAK = угол CAM.

Таким образом, треугольник АКМ подобен треугольнику АВС, причем соответствующие стороны имеют отношение 1:2. Поэтому AM = AB/2 и KM = AM - AK = AB/2 - AC/2 = BC/2.

Также заметим, что треугольник АКН подобен треугольнику АВС, причем соответствующие стороны имеют отношение 4:5 (так как DK = 4 и KN = 3). Поэтому AN = 4/5 * AC и NH = 3/5 * AC.

Теперь можем выразить BC через AC: BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4AM^2 + 4AK^2 = 8AM^2 = 8(AB^2)/4 = 2AB^2.

Также можем выразить AC через AB: AC^2 = AN^2 + NH^2 = 16/25 * AB^2 + 9/25 * AB^2 = 25/25 * AB^2 = AB^2.

Из этих двух уравнений получаем, что BC = AB * sqrt(2).

Теперь можем найти площадь треугольника АВС: S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * AB * AB * sqrt(2) = AB^2/2 * sqrt(2) = BC^2/4 * sqrt(2) = (AB^2 * 2)/8 * sqrt(2) = AB^2/4 = (AC^2)/4.