5. Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює 8 см. Обчисліть площу квадрата.

Позначимо сторону квадрата як "a". Тоді діаметр кола, що вписане в квадрат, дорівнює довжині сторони квадрата a.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, що дорівнюють стороні квадрата і його півдіаметру (тобто радіусу кола), можна знайти гіпотенузу (тобто діаметр кола):

d² = a² + (2r)²

де d - діаметр кола (тобто a + a = 2a), r - радіус кола.

Замінивши вираз для r, маємо:

d² = a² + (2r)² = a² + (2 × 8)² = a² + 256

тому

d = √(a² + 256)

Але також маємо d = a + a = 2a, тому

2a = √(a² + 256)

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

4a² = a² + 256

3a² = 256

a² = 256/3

Отже, площа квадрата дорівнює:

S = a² = (256/3) см² ≈ 85.3 см² (округлюємо до одного десятка)