Сходиться или расходиться данный интеграл? integral x/(x^2-1)^(5/7) from 0 to 1

Ответ:

Для того, чтобы определить, сходится или расходится данный интеграл, можно воспользоваться признаком сходимости интеграла от неотрицательной функции. Если интеграл от неотрицательной функции сходится, то исходный интеграл тоже сходится, и наоборот, если интеграл от неотрицательной функции расходится, то исходный интеграл тоже расходится.

Рассмотрим функцию f(x) = x/(x^2-1)^(5/7). Поскольку f(x) неотрицательна на отрезке [0, 1], то интеграл от нее существует в несобственном смысле, если он сходится на этом отрезке.

Применим признак сходимости интеграла от неотрицательной функции. Для этого рассмотрим функцию g(x) = f(x)/(x^(2/7)), которая также неотрицательна на отрезке [0, 1].

Тогда

g(x) = x/(x^2-1)^(5/7) / (x^(2/7))

= x^(5/7) / (x^2-1)^(5/7)

Поскольку на отрезке [0, 1] функция g(x) непрерывна, то для того, чтобы интеграл от нее сходился, необходимо и достаточно, чтобы интеграл от g(x) сходился на этом отрезке.

Для проверки сходимости интеграла от g(x) воспользуемся интегральным признаком сходимости:

Если функция f(x) непрерывна, неотрицательна и убывает на бесконечности, то интеграл от нее сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл от функции g(x) = f(x)/x.

Функция g(x) = x^(5/7) / (x^2-1)^(5/7) является неотрицательной и убывает на бесконечности, поскольку

g'(x) = (3x^2 + 2)/(7x^3(x^2-1)^(12/7)) < 0

для всех x > 1.

Таким образом, интеграл от f(x) сходится, и следовательно, исходный интеграл

integral x/(x^2-1)^(5/7) from 0 to 1

также сходится

Пошаговое объяснение:

ЗДЕЛАЙ ПОЖАЛУЙСТА ЛУЧШИЙ ОТВЕТ