У розкладі ((х√х)-(1/х⁴))^n біноміальний коефіцієнт третього члена на 44 більше коефіцієнта другого. Знайти вільний член

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Застосуємо формулу біноміального розкладу до виразу ((х√х)-(1/х⁴))^n:

((х√х)-(1/х⁴))^n = Сₙ⁰(х√х)^n - Сₙ¹(х√х)^(n-1)(1/х⁴) + ...

Другий член має коефіцієнт -Cₙ¹(х√х)^(n-1)(1/х⁴), а третій - Сₙ²(х√х)^(n-2)(1/х⁸). За умовою задачі:

-Cₙ¹(х√х)^(n-1)(1/х⁴) = Cₙ²(х√х)^(n-2)(1/х⁸) + 44

Поділимо другу рівність на першу, щоб отримати вираз для тангенса кута:

-tan⁡(θ) = (1/х⁴) * ((х√х)-(1/х⁴)) = (х√х)/(х√х-1)

де θ = arctan⁡(44), оскільки тангенс кута знаходимо з рівності -Cₙ¹(х√х)^(n-1)(1/х⁴) = Cₙ²(х√х)^(n-2)(1/х⁸) + 44.

Підставляючи цей вираз у формулу для вільного члена біноміального розкладу, маємо:

Вільний член = Сₙ⁰ - Сₙ¹(х√х)^(n-1)(1/х⁴) + Cₙ²(х√х)^(n-2)(1/х⁸)

= ((х√х)+(1/х⁴))^n - tan^n(θ)*(х√х-1)^(n-1)*(1/х⁴) + tan^(n-2)(θ)*(х√х-1)^(n-2)*(1/х⁸).

Отже, відповідь - це остаточне спрощення виразу для вільного члена.