146 9. Сколько разносторонних треугольников можно построить из отрезков с длинами 3, 4, 5, 6, 7 и 8 см?​

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для построения треугольника нам нужно выбрать три отрезка из имеющихся шести. Однако не все тройки отрезков могут образовать треугольник, поскольку сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей (иначе треугольник не замкнется).

Из предоставленных отрезков у нас есть только одна тройка, которая уже сама по себе является сторонами разностороннего треугольника - это отрезки длины 3, 4 и 5.

Для остальных треугольников мы можем применить следующую логику:

   Для каждого из оставшихся отрезков выберем пару отрезков, которые будут являться меньшими сторонами треугольника. Это можно сделать ${{6}\choose{2}}=15$ способами.

   Для каждой пары отрезков проверим, может ли третий отрезок образовать с ними треугольник. Если да, то эти три отрезка могут образовать разносторонний треугольник.

Теперь рассмотрим каждую пару отрезков:

   (3,4) - мы не можем выбрать отрезок длины 5, так как тогда треугольник получится вырожденным. Остаются отрезки длины 6, 7 и 8, из которых можно составить 3 треугольника.

   (3,5) - отрезок длины 6 не подходит (сумма 3 и 5 меньше 6), но из отрезков длины 7 и 8 можно составить 2 треугольника.

   (3,6) - отрезок длины 7 не подходит (сумма 3 и 6 меньше 7), но из отрезков длины 5 и 8 можно составить 1 треугольник.

   (3,7) - отрезки длины 4 и 5 не подходят (их сумма меньше 7), а из отрезка длины 6 можно составить 1 треугольник.

   (3,8) - отрезки длины 4 и 5 не подходят (их сумма меньше 8), а из отрезка длины 7 можно составить 1 треугольник.

   (4,5) - отрезок длины 6 не подходит (сумма 4 и 5 меньше 6), но из отрезков длины 7 и 8 можно составить 2 треугольника.

   (4,6) - отрезок длины 7 не подходит