Из точки В к окружности с радиусом 3,2см проведены касательные ВА и ВС. Периметр четырехугольника АВСО равен 20 см. Найдите длину отрезка АВ.

Ответ:

Пусть O - центр окружности, а R - радиус окружности. Также пусть M - середина отрезка АВ.

Так как ВА и ВС - касательные, то треугольники ВАМ и ВСМ прямоугольные, и мы можем использовать теорему Пифагора:

AM^2 = AB^2 - BM^2 = (2R)^2 - (R/2)^2 = 15R^2 / 4

CM^2 = CB^2 - BM^2 = (2R)^2 - (R/2)^2 = 15R^2 / 4

Также, так как AM = CM, то мы можем записать:

15R^2 / 4 + 15R^2 / 4 + 2AB^2 = 20^2

Упрощая это уравнение, мы получаем:

AB^2 = (160 - 15R^2) / 2

Теперь мы можем найти длину отрезка АВ, используя уравнение AM = AB/2:

AB = 2AM = 2sqrt(15)R / 2 = sqrt(15)R

Осталось найти значение R. Так как ВА - касательная, то она перпендикулярна радиусу ОМ, проходящему через точку касания А. Поэтому, треугольник ВОА является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора:

OA^2 = OV^2 + VA^2 = R^2 + (2R)^2 = 5R^2

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

OA = R * sqrt(5)

Таким образом, периметр четырехугольника АВСО равен:

AB + 2AM + OA = sqrt(15)R + 2sqrt(15)R / 2 + R * sqrt(5) = (3 + sqrt(5))R * sqrt(15)

Поскольку периметр равен 20 см, мы можем записать:

(3 + sqrt(5))R * sqrt(15) = 20

Отсюда:

R = 4 / ((3 + sqrt(5)) * sqrt(15))

Подставляя это значение в уравнение для AB, мы получаем:

AB = sqrt(15)R = 8 / (3 + sqrt(5)) см

Ответ: длина отрезка АВ равна 8 / (3 + sqrt(5)) см.

Пошаговое объяснение: