Верно ли неравенство √(x^2/y) + √(y^2 / x) > √x + √y

Відповідь:Да, неравенство верно для всех положительных x и y.

Для начала заметим, что если x=y, то неравенство превращается в равенство:

√(x^2/y) + √(y^2/x) = √(x) + √(y)

Поэтому можно считать, что x ≠ y.

Разделим обе части неравенства на √xy:

√(x^2/yxy) + √(y^2/xyx) > (√x + √y) / √xy

√(x/y) + √(y/x) > √(x)/√y + √(y)/√x

Теперь, заменив выражение в левой части неравенства на его арифметическое среднее, а выражение в правой части - на геометрическое среднее, получим:

(√(x/y) + √(y/x)) / 2 > (√(x)/√y * √(y)/√x)^(1/2)

√(x/y) * √(y/x) > 1

x/y + y/x > 2

Это неравенство является верным для всех положительных x и y (его можно доказать, например, с помощью неравенства о средних).

Таким образом, исходное неравенство также верно.

Покрокове пояснення:Корону?)