Найди наименьшее значение функции у = 5x - 5 ln(x + 8) + 2 на отрезке [-8; -1].

Ответ:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти точки, в которых достигаются экстремумы функции (то есть точки, где производная функции равна нулю), а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Для данной функции y = 5x - 5ln(x + 8) + 2 производная функции имеет вид:

y' = 5 - 5/(x+8)

Чтобы найти точки экстремума, нужно решить уравнение y' = 0:

5 - 5/(x+8) = 0

5 = 5/(x+8)

x + 8 = 1

x = -7

Таким образом, точка x = -7 является точкой минимума функции на заданном отрезке. Теперь нужно сравнить значения функции в этой точке и на концах отрезка:

y(-8) = 5*(-8) - 5ln((-8)+8) + 2 = -40 + 2 = -38

y(-1) = 5*(-1) - 5ln((-1)+8) + 2 = -3 - 5ln(7) ≈ -13.25

y(-7) = 5*(-7) - 5ln((-7)+8) + 2 = -35 - 5ln(1) + 2 = -33

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке [-8;-1] равно -33 и достигается в точке x = -7.