Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. На ребре SC взята точка M, так что SM : SC = 1:3 Докажите что плоскость ADM делит высоту пополам

Ответ:

Для доказательства того, что плоскость ADM делит высоту пополам, мы можем использовать свойство подобных треугольников.

Пусть H - точка пересечения высоты пирамиды SABCD с основанием ABCD. Тогда, так как SM : SC = 1:3, можно сказать, что SH : SC = 1:4.

Рассмотрим треугольники SHM и SDC. У них общий угол при вершине S, а также у них соответственные стороны пропорциональны (SH : SC = 1:4, SM : SD = 1:4).

Таким образом, треугольники SHM и SDC подобны. Из этого следует, что у них соответственные высоты также пропорциональны. То есть, HM : DC = 1:4.

Но DC - это высота пирамиды SABCD. Значит, HM делит высоту пополам.

Таким образом, плоскость ADM действительно делит высоту пирамиды пополам.