На доске написано число 1000000000 Петя и Вася

Эта игра является примером комбинаторной игры, известной как "игра произведения". Правильная стратегия игры позволяет определить, кто выиграет при определенных начальных условиях.

В данном случае, на доске написано число 1000000000. Для определения победителя, мы можем проанализировать некоторые особенности игры и применить некоторые стратегии.

Заметим, что число 1000000000 является степенью 10: 1000000000 = 10^9. Это означает, что в процессе игры все числа на доске также будут являться степенями 10.

При ходе игрока можно стереть два одинаковых числа или заменить число на два меньших натуральных числа, так что их произведение даёт исходное число. Для каждого числа степени 10 можно заметить следующие возможные ходы:

10^1 = 10:
1) Стереть два числа 10. После этого на доске не останется чисел, и игрок не сможет сделать ход. Таким образом, играет второй игрок (Вася), и он выигрывает.

10^2 = 100:
1) Стереть число 100 и заменить его на числа 10 и 10. В этом случае независимо от того, кто ходит, на доске всегда будет находиться два числа 10, и другие ходы недоступны. Таким образом, первый игрок (Петя) проигрывает.

10^3 = 1000:
1) Стереть число 1000 и заменить его на числа 100 и 10. В этом случае на доске останутся числа 100 и 10, и игрок сможет продолжить игру.
2) Стереть два числа 100. После этого на доске будет только число 10, и игрок не сможет сделать ход. Таким образом, играет второй игрок (Вася), и он выигрывает.

Таким образом, при правильной игре в данной игре выигрывает второй игрок (Вася).

Эта игра является вариацией на тему игры "Ним". В этой игре стратегия Пети будет заключаться в том, чтобы всегда оставлять чётное количество чисел на доске.

В начале игры на доске стоит число 1000000000, которое является произведением двух чисел: 2 и 500000000. Петя может начать, разделив это число на эти два множителя. Теперь на доске два числа, и количество чисел чётное.

В любой момент игры, если Вася стирает два одинаковых числа, количество чисел остаётся чётным. Если Вася стирает одно число и заменяет его двумя меньшими, количество чисел остаётся чётным. Поэтому Петя всегда может поддерживать чётное количество чисел на доске.

В конце игры, когда все числа на доске равны 1, их количество будет чётным. Вася не сможет сделать ход (потому что все числа равны 1 и не могут быть разделены), поэтому Петя выигрывает.

Таким образом, при правильной игре выигрывает Петя.